1.已知椭圆C:x2+2y2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
解:直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-.
当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,
故直线AB的方程为x=±,
圆心O到直线AB的距离d=,此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),
即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
圆心O到直线AB的距离d=.
