1．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)已知函数f(x)＝x3－3x2－m，g(x)＝3ex－6(1－m)x－3(m∈R，e为自然对数的底数)．
(1)试讨论函数f(x)的零点个数；
(2)证明：当m>0且x>0时，总有g(x)>f′(x)．
(1)解 f(x)＝x3－3x2－m的零点个数即为方程x3－3x2＝m的根的个数．
记h(x)＝x3－3x2，
则h′(x)＝3x(x－2)，令h′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
|
x
|
(－∞，0)
|
0
|
(0,2)
|
2
|
(2，＋∞)
|
|
h′(x)
|
＋
|
0
|
－
|
0
|
＋
|
|
h(x)
|
↗
|
极大
值0
|
↘
|
极小值－4
|
↗
|
故可画出h(x)的草图如图所示．
由图象知，当m<－4或m>0时，函数f(x)有一个零点；
