1．(导学号14577488)(理科)(2018·鹰潭市一模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是1与an的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn为数列的前n项和，证明：＜Tn＜1(n∈N*)
解：(1)n＝1时，a1＝1；
n≥2时，4Sn－1＝(an－1＋1)2.
又4Sn＝(an＋1)2，
两式相减得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＞0，∴an－an－1＝2，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an＝2n－1.
(2)证明：由＝－，
故Tn＝＋＋…＋＝1－<1.
当n＝1时，T1＝，故＜Tn＜1(n∈N*)．
1．(导学号14577489)(文科)(2018·海淀区模拟)在数列{an}中，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)且a1＝2.
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：∵an＝2an－1＋1，
∴an＋1＝2(an－1＋1)．
∵a1＝2，∴a1＋1＝3，
则数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)知an＋1＝3·2n－1，
∴an＝3·2n－1－1，
则Sn＝(3＋6＋…＋3·2n－1)－(1＋1＋…＋1)，
∴Sn＝－n＝3·2n－n－3.
