(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.
【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.当a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a<0，则当x∈(0，－)时，f′(x)>0；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－取得最大值，最大值为f(－)＝ln(－)－1－.
所以f(x)≤－－2等价于ln(－)－1－≤－－2，即ln(－)＋＋1≤0.设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln(－)＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.
将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．
