(2018·昆明市教学质量检测)在直角坐标系xOy中，已知定圆M：(x＋1)2＋y2＝36，动圆N过点F(1，0)且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|·|OT|为定值．
【解】 (1)因为点F(1，0)在圆M：(x＋1)2＋y2＝36内，
所以圆N内切于圆M，则|NM|＋|NF|＝6＞|FM|，
由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a＝6，c＝1，则a2＝9，b2＝8，
所以动圆圆心N的轨迹方程为＋＝1.
(2)证明：设P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)，则B(x1，－y1)，由题意知x0≠±x1，
则kAP＝，直线AP的方程为y－y1＝kAP(x－x1)，
令y＝0，得xS＝，
同理xT＝＝，
于是|OS|·|OT|＝|xSxT|＝
＝，
又P(x0，y0)和A(x1，y1)在椭圆＋＝1上，故y＝8，y＝8，
则y－y＝(x－x)，xy－xy＝8x－8x＝8(x－x)．
所以|OS|·|OT|＝
＝＝9.
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
