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高中数学编辑
(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数在研究函数中的应用(第4课时)难点自选——函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略讲义
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资源简介
在求解函数问题时,很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点,但所述情形都难以求出其准确值,导致解题过程将无法继续进行.但可这样尝试求解:先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如,函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点),这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然,有时是可以求出但无需求出),所以把零点x0叫做隐零点;若x0容易求出,就叫做显零点,而后解答就可继续进行.实际上,此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
[典例] 设函数f(x)exax2.
(1)f(x)的单调区间;
(2)a1k为整数,且当x>0时,(xk)f(x)x1>0,求k的最大值.
[解题观摩] (1)a0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间;
a>0时,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,ln a),单调递增区间是(ln a,+∞)(解答过程略)
(2)由题设可得(xk)(ex1)x1>0
k<x(x>0)恒成立.
g(x)x(x>0),得g(x)1(x>0)
(1)的结论可知,函数h(x)exx2(x>0)是增函数.
又因为h(1)<0h(2)>0,所以函数h(x)的唯一零点α(1,2)(该零点就是h(x)的隐零点)
x(0α)时,g(x)<0;当x(α,+∞)时,g(x)>0
所以g(x)ming(α)α.
eαα2α(1,2)
g(x)ming(α)1α(2,3)
所以k的最大值为2.
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