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高中数学编辑
(北师大版)2020版高考数学一轮复习课后限时集训65不等式选讲理(解析版)
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资源简介
3.已知abcR,且2a+2bc=8,求(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值.
[解] 由柯西不等式得
(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2
∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2bc-1)2.
∵2a+2bc=8,
∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2
当且仅当c-3时等号成立,
∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是.
4.(2019·长春质检)已知a>0,b>0,ab=2.
(1)求证:a2b2≥2;
(2)求证:≥1.
[解] (1)根据重要不等式得:a2b2(ab)2=2.
(2)×,等号成立的条件为:,故≥1.
5.(2019·湖南师大月考)已知函数f(x)=g(x)af(x)-|x-1|.
(1)a=0时,若g(x)≤|x-2|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;
(2)a=1时,求g(x)的最大值;
[解] (1)当a=0时,g(x)=-|x-1|,
-|x-1|≤|x-2|+bb≤|x-1|+|x-2|.
∵|x-1|+|x-2|≥|x-1+2-x|=1,
b≤1,∴b≥-1.
(2)a=1时,
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