计算题32分抢分练(三)
(时间：20分钟 分值：32分)
1．(18分)如图所示，有一长为L＝6 m，质量为m1＝1 kg的长木板放在水平面上，木板与水平面间的动摩擦因数为μ1＝0.2，右端固定一挡板，左端放一质量为m2＝1 kg的小滑块，滑块与木板间的动摩擦因数为μ2＝0.1，现在滑块的左端瞬间给滑块施加一个水平冲量I＝4 N·s，滑块与挡板发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计，g取10 m/s2，求：
(1)滑块与挡板碰撞后瞬间木板的速度；
(2)木板在水平面上发生的位移。
[解析] (1)由于冲量作用，滑块获得的速度为
v0＝＝4 m/s
木板受地面最大摩擦力μ1(m1＋m2)g>μ2m2g，木板不动。
对滑块：μ2m2g＝m2a2
v－v2＝2a2L
解得v＝2 m/s
滑块与挡板碰撞动量守恒：m2v＝m2v2＋m1v1
能量守恒：m2v2＝m1v＋m2v
解得v1＝2 m/s，v2＝0
碰后瞬间木板速度为2 m/s，方向水平向右。
(2)碰后滑块加速度不变，
对木板：μ1(m1＋m2)g＋μ2m2g＝m1a1
设经时间t，两者共速v1－a1t＝a2t
解得t＝ s
共同的速度v3＝a2t＝ m/s
此过程木板位移x1＝v1t－a1t2＝ m
共速后木板加速度为μ1(m1＋m2)g－μ2m2g＝m1a3
最后木板静止，设此过程木板位移为x2，
0－v＝2a3x2
解得x2＝ m
木板在水平面上发生的位移为x1＋x2＝ m。
[答案] (1)2 m/s 方向水平向右 (2) m
2.(14分)如图所示，MN和M′N′为两竖直放置的平行光滑长直金属导轨，两导轨间的距离为L。在导轨的下部有垂直于导轨所在平面、方向向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨的MM′端连接电容为C、击穿电压为Ub、正对面积为S、极板间可认为是真空、极板间距为d的平行板电容器。在t＝0时无初速度地释放金属棒ef，金属棒ef的长度为L、质量为m、电阻可忽略不计．假设导轨足够长，磁场区域足够大，金属棒ef与导轨垂直并接触良好，导轨和各接触处的电阻不计，电路的电感、空气的阻力可忽略，已知重力加速度为g。
(1)求电容器两端的电压达到击穿电压所用的时间；
(2)金属棒ef下落的过程中，速度逐渐变大，感应电动势逐渐变大，电容器极板上的电荷量逐渐增加，两极板间存储的电场能也逐渐增加。单位体积内所包含的电场能称为电场的能量密度。已知两极板间为真空时平行板电容器的电容大小可表示为C＝。试证明平行板电容器两极板间的空间内的电场能量密度ω与电场强度E的平方成正比，并求出比例系数(结果用ε0和数字的组合表示)。
[解析] 本题为“单棒＋电容器＋导轨模型”，可以根据牛顿第二定律，使用“微元法”对棒列方程求解。
