专题 动量守恒定律的综合应用
课题任务
临界问题
分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
例1 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。甲和他的冰车总质量为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也是30 kg。游戏时，甲推着一个质量为m＝15 kg的箱子和他一起以v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住。(不计冰面摩擦)
(1)若甲将箱子以速度v推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)
(2)设乙抓住迎面滑来的速度为v的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示)
(3)若甲、乙最后不相撞，则箱子被推出的速度至少多大？
[规范解答] (1)设甲的速度变为v1，甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得(M＋m)v0＝mv＋Mv1
解得v1＝。
(2)设乙抓住箱子后的速度变为v2，箱子和乙作用的过程，乙和箱子组成的系统动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv－Mv0＝(m＋M)v2
解得v2＝。
(3)甲、乙不相撞的条件是v1≤v2，其中v1＝v2为甲、乙恰好不相撞的条件。
即≤
代入数据得v≥5.2 m/s。
所以箱子被推出的速度为5.2 m/s时，甲、乙恰好不相撞。
[完美答案] (1) (2) (3)5.2 m/s
解决动量的临界问题时需要注意以下几点
(1)应联想其中一个物体速度很小或速度很大时的状况。
(2)通常临界状态发生在二者速度相同的时刻。
(3)有时两个物体间发生相互作用时，动量守恒，动能损失最大时的情况和无动能损失的情况与完全非弹性碰撞和弹性碰撞相类似。
如图所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h＝0.45 m处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动。此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来。为了避免两车相撞，当两车相距适当的距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应在什么范围以内？(不计地面和斜面的摩擦，取g＝10 m/s2)
答案 3.8 m/s≤v≤4.8 m/s
解析 在水平面上人跳离甲车和跳上乙车的两个过程中水平方向动量是守恒的。甲车从斜坡滑到平面上的速度v甲＝＝3 m/s，
设人跳离甲车后甲车的速度为v甲′，跳上乙车后乙车的速度为v乙′，人跳离甲车的水平速度为v，以水平向右为正方向，则
(M＋m1)v甲＝Mv＋m1v甲′①
Mv－m2v0＝(M＋m2)v乙′②
甲、乙两车恰好不相撞的临界条件为v甲′＝±v乙′，若甲、乙同向且v甲′>v乙′甲、乙将相撞；若甲、乙反向且v甲′>v乙′，则甲车冲上斜面返回后将与乙车发生碰撞。
联立①②两式解得：
当v甲′＝v乙′时，v＝3.8 m/s，
当v甲′＝－v乙′时，v＝4.8 m/s。
故为了避免两车相撞，人从甲车跳到乙车上的速度应满足3.8 m/s≤v≤4.8 m/s。
