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2020_2021学年新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.3向量数量积的坐标运算学案含解析新人教B版必修第三册
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  • 资源类别学案
    资源子类同步学案
  • 教材版本人教B版(现行教材)
    所属学科高中数学
  • 适用年级高一年级
    适用地区全国通用
  • 文件大小1189 K
    上传用户goldfisher
  • 更新时间2021/1/26 10:22:51
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资源简介
8.1.3 向量数量积的坐标运算
[课程目标] 1.掌握向量数量积的坐标表达式,会进行向量数量积的坐标运算.
2.能运用数量积表示两个向量的夹角,计算向量的长度,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
 
[填一填]
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
(1)向量内积的坐标运算
已知a=(x1y1),b=(x2y2),则a·bx1x2y1y2.
(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
a=(x1y1),b=(x2y2),则abx1x2y1y20.
2.向量的长度,距离和夹角公式
(1)向量的长度
已知a=(x1y1),则|a|=.
(2)两点间的距离
如果A(x1y1),B(x2y2),
则||=.
(3)两向量的夹角
a=(x1y1),b=(x2y2),
则cos〈ab〉=.
[答一答]
1.向量数量积的运算性质怎样用坐标表示?
提示:设单位向量e=(1,0),a=(a1a2),b=(b1b2).
(1)a·ee·aa1=cos〈ae〉;
(2)aba1b1a2b2=0;
(3)a·a=|a|2⇔|a|=;
(4)cos〈ab〉=⇔cos〈ab〉=;
(5)|a·b|≤|a||b|⇔|a1b1a2b2|≤·
.
2.垂直向量和平行向量的坐标有什么关系?
提示:已知a=(a1a2),b=(b1b2).
(1)如果ab,则a1b1a2b2=0;反之,如果a1b1a2b2=0,则aB
(2)如果ab,则向量(a1a2)与(-b2b1)平行.这是因为由ab,得a1b1a2b2=0(*),当b1b2≠0时,*式可以表示为=,即向量(a1a2)与(-b2b1)平行.
(3)对任意实数k,向量k(-b2b1)与向量(b1b2)垂直.
运用向量垂直的条件,可以判定两向量是否垂直,又可以由垂直关系求参数.
3.应用两向量的夹角公式应注意什么问题?
提示:(1)运用向量内积的坐标运算求两向量的夹角,cos〈ab〉的符号由a1b1a2b2确定,若a1b1a2b2=0,则〈ab〉=,此时ab;若a1b1a2b2>0,则〈ab〉∈;若a1b1a2b2<0,则〈ab〉∈.
(2)当cos〈ab〉=±1时,向量ab共线,若ab同向时,a1b1a2b2=·;若ab反向时,a1b1a2b2=-·.
运用此公式可以求平面内任意两个非零向量的夹角.
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