6.2.3 向量的数乘运算
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(直观想象)
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(数学运算)
3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理)
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1．要进一步深化类比实数的乘法运算，加强对向量的数乘运算的理解，并且感受两者的差异.
2．类比三角函数伸缩变换的特征感受向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进一步理解两个平面向量共线的含义.
3．进一步深化对线性运算几何意义的理解，把握平面几何中位置关系与向量共线之间的联系.
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必备知识·探新知
知识点1 向量的数乘运算
1．向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算叫做向量的__数乘__，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝__|λ||a|__.
(2)λa(a≠0)的方向
由(1)知，当λ＝0时，λa＝0，由(1)(2)知，(－1)a＝－a.
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝__(λμ)a__.
(2)(λ＋μ)a＝__λa＋μa__.
(3)λ(a＋b)＝__λa＋λb__.
特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__λμ1a±λμ2b__.
[知识解读] (1)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍.
(2)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义.
(3)注意向量数乘的特殊情况：
①若λ＝0，则λa＝0；
②若a＝0，则λa＝0．
知识点2 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__.
[知识解读] 关于共线向量定理的说明：
(1)定理中，向量a为非零向量，即定理不包含0与0共线的情况.
(2)条件a≠0是必须的.否则当a＝0，b≠0时，虽然b与a共线，但不存在实数λ，使得b＝λa；当a＝0，b＝0时，λ可以是任意实数.
(3)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可.
(4)若b＝λa(λ∈R)，则a与b共线.
(5)由本性质定理知，若向量＝λ，则，共线.又，有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.
