6.2.4 向量的数量积
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．理解平面向量的数量积的定义.(数学抽象)
2．了解投影向量的概念.(直观想象)
3．了解向量的数量积与实数的乘法的区别.(数学运算)
4．掌握向量数量积的性质及其运算律.(逻辑推理)
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1．对于向量的学习，关键是用好类比，即类比数的运算以及类比物理中矢量的运算.
2．物理中功的模型有助于我们更好地理解向量的数量积运算.
3．在研究向量的数量积运算时，类似于数的乘法运算中经常要关注0一样，要特别重视零向量的特殊性.
4．向量的投影是高维空间到低维空间的一种线性变换，得到的是低维空间向量.
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必备知识·探新知
知识点1 向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(__0__≤θ≤__π__)叫做向量a与b的夹角.
(2)性质：当θ＝__0__时，a与b同向；当θ＝__π__时，a与b反向.
(3)向量垂直：如果a与b的夹角是____，我们说a与b垂直，记作__a⊥b__.
2．向量的数量积
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条件
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非零向量a与b，它们的夹角为θ
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结论
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数量__|a||b|cos θ__叫做向量a与b的数量积(或内积)
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记法
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向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝__|a||b|cos θ__
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规定
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零向量与任一向量的数量积为__0__
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3．向量a在b上的投影向量
(1)设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做__向量a在向量b上__的投影向量.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，且＝__|a|cos θe__.
[知识解读] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量.
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆.
知识点2 向量的数量积的性质及运算律
1．数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝__|a|cos θ__.
(2)a⊥b⇔__a·b＝0__.
(3)当a，b同向时，a·b＝__|a||b|__；当a，b反向时，a·b＝__－|a||b|__.特别地，a·a＝__|a|2__或|a|＝ ____.
(4)|a·b|≤__|a||b|__.
(5)cos θ＝____.
2．数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝__b·a__(交换律).
(2)(λa)·b＝__λ(a·b)__＝__a·(λb)__(结合律).
(3)(a＋b)·c＝__a·c＋b·c__(分配律).
[知识解读] 向量数量积的性质及其应用
性质(1)表明任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量e上的投影向量的长度.
性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
