6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
素养目标·定方向
|
素养目标
|
学法指导
|
|
1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(直观想象)
2．能够灵活运用平面向量基本定理解决相关问题.(数据分析)
|
1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些社会架构组成的基本单位等.
2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解.
3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.
|
必备知识·探新知
知识点1 平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a，__有且只有一对__实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__.
知识点2 基底
若e1，e2__不共线__，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内__所有__向量的一个基底.
[知识解读] 对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
(3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0．
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对基底概念的理解
典例1 (多选)如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( BC )
A．a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D．若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
[分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解.
[解析] 由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0．故选BC．
[归纳提升] (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.
【对点练习】? (1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( A )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
(2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是__③__.(写出所有满足条件的序号)
[解析] (1)选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确.
