第2课时 正弦定理
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.(逻辑推理)
2．能应用正弦定理解三角形.(数学运算)
3．能综合利用余弦定理、正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(数据分析)
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1．通过研究特殊的三角形到一般的三角形，从而得到任意三角形的边角之间的数量关系，感受从特殊到一般的探究思想.
2．根据不同的条件选择不同的方法解三角形，特别是在已知两边及其中一边的对角解三角形时，要能正确确定解的个数并求解.
3．用正弦定理解决问题时，注意数形结合思想的应用.
4．在解三角形中灵活地选择定理进行边角互化.
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必备知识·探新知
知识点1 正弦定理的表示
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文字语言
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在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦__的比相等
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符号语言
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＝____＝____
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知识点2 正弦定理的常见变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径).
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C.
(4)＝＝＝.
(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
[微提醒] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 已知两角和一边解三角形
典例1 在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求△ABC中其他边与角的大小.
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边.
[解析] 在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝.
根据正弦定理，得a＝＝＝＝(－1)＝3－，
b＝＝＝＝2(－1).
[归纳提升] 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角.
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边.
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.
【对点练习】? (1)(2019·大同高二检测)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( A )
A．4 B．4
C．4 D．
(2)在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于____.
[解析] (1)A＝180°－B－C＝45°，
由正弦定理得＝，
∴b＝＝＝4.
