6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(直观想象)
2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(数学抽象)
3．能够将几何问题和物理问题转化为平面向量问题.(数学建模)
4．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(数据分析)
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1．向量是工具，实现这一工具应用的关键是运算，平行与相交是平面几何中的重要线性关系，线性运算常用于解决平行(共线)问题，数量积运算常用于解决相交问题.
2．凡是涉及平行的问题都可以用数乘运算处理，而与相交有关的夹角、垂直、长度等问题则可以用数量积运算处理.其中基底法和坐标法能实现形与数的相互转化，体现的是数形结合思想.
3．速度、位移是向量，与线性运算挂钩；功是数量，与数量积运算相连.凡涉及速度、位移均可以考虑用线性运算工具(向量加法的平行四边形法则)，而功的问题则直接运用数量积处理.
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必备知识·探新知
知识点1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点2 向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 向量在平面几何证明问题中的应用
典例1 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[证明] 法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)，
则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0．
∴⊥，即DP⊥EF.
