7.2.2 复数的乘、除运算
素养目标·定方向
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素养目标
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学法指导
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1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用.(数学运算)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)
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1．对比向量坐标的数量积运算，感觉复数乘法运算的差异，体会复数乘法运算与实数运算的异同.
2．对比复数除法运算与实数除法运算的差异，类比分母有理化与共轭的关系.
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必备知识·探新知
知识点1 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__.
知识点2 复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
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交换律
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z1·z2＝__z2·z1__
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结合律
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(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
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分配律
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z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__
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知识点3 复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝__＋i__(c＋di≠0).
[知识解读] 1．对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 复数代数表示式的乘法运算
典例1 (1)(2020·全国Ⅰ卷理)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( D )
A．0 B．1
C． D．2
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝( D )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[分析] 利用乘法公式进行运算.
[解析] (1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．
故|z2－2z|＝|－2|＝2．
故选D．
