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2020_2021学年新教材高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线学案含解析新人教B版必修第三册
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  • 资源类别学案
    资源子类同步学案
  • 教材版本人教B版(现行教材)
    所属学科高中数学
  • 适用年级高一年级
    适用地区全国通用
  • 文件大小1551 K
    上传用户goldfisher
  • 更新时间2021/1/26 14:36:27
    下载统计今日0 总计5
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资源简介
7.2.2 单位圆与三角函数线
[课程目标] 1.理解单位圆、有向线段的概念.
2.学会用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
3.通过三角函数的几何表示,进一步加深对数形结合思想的理解,拓展思维空间.
 
[填一填]
1.单位圆
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2y21的点组成的集合称为单位圆.
2.正弦线、余弦线
如图所示,如果过角α终边与单位圆的交点Px轴的垂线,垂足为M,则可以直观地表示cosα:的方向与x轴的正方向相同时,表示cosα是正数,且cosα=||;的方向与x轴的正方向相反时,表示cosα是负数,且cosα=-||.习惯上,称为角α的余弦线.类似地,图中的可以直观地表示sinα,因此称为角α的正弦线.
 
3.正切线
如图所示,设角α的终边与直线x=1交于点T,则可以直观地表示tanα,因此称为角α的正弦线.
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线.
[答一答]
1.对于三角函数线的理解应注意哪些问题?
提示:(1)三角函数线是表示一个角的三角函数值的几何方法,是对任意角的三角函数定义的一种“形”上的补充,它们的大小(即长度)等于角α的三角函数的绝对值,要特别注意它们均有方向.记法:当两个端点都在x轴上时,以原点为起点(余弦线);当两个端点有一个在x轴上时,以x轴上的点为起点(正弦线、正切线),三角函数值的正负与轴的方向才相同.
(2)正切线都是过点A(1,0)作圆的切线与角α终边或反向延长线相交所成的有向线段.当角α终边在第一、四象限时,正切线为过A(1,0)作单位圆的切线与角α终边所成的有向线段;当角α终边在第二、三象限时,正切线为过点A(1,0)作圆的切线与角α终边的反向延长线的交点所成的有向线段.
(3)当角α的终边在x轴上时,点P与点M重合,点T与点A重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们的数量为零,而余弦线||=1或-1;当角α的终边在y轴上时,正弦线||=1或-1,余弦线变成了一点,它表示的数量为零,正切线不存在.
2.怎样由三角函数值(范围),利用单位圆中三角函数线确定终边相同的角(范围)?
提示:(1)已知正弦值sinαa,因为正弦线是与y轴平行或重合的向量,所以确定的方法是:①在y轴上找出与正弦值对应的一点(0,a)(若正弦值为正,在y轴正半轴上取点,若为负,在y轴负半轴上取点);②过该点作x轴的平行线交单位圆于两点AB;③分别作射线OAOB,则OAOB就是使sinαa的角的终边.若sinαa,则平行线上方一段圆弧所对应角的范围为所求,若sinα<a,则平行线下方一段圆弧所对应角的范围为所求(但不包括角的边界),简述为大上,小下.
(2)已知余弦值cosαa,因为余弦线是与x轴重合的向量,所以确定的方法是:①在x轴上找出与余弦值对应的一点(a,0)(若余弦值为正,在x轴正半轴上取点,若为负,在x轴负半轴上取点);②过该点作y轴的平行线交单位圆于两点AB;③分别作射线OAOB,则OAOB就是使cosαa的角的终边.若cosαa,则该平行线右侧一段圆弧对应角的范围为所求,若cosα<a,则平行线左侧一段圆弧对应角的范围为所求,简述为大右,小左.
(3)已知正切值tanαa,过A(1,0)点作单位圆的切线,在切线上截取ATa,过OT作直线交单位圆于两点AB,则射线OAOB为所求的使tanαa的角α的终边,对于tanα>a(或tanαa)型的不等式,用以后所学习的正切函数图像解决比较方便.
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