专题强化练(二)
1．(2020·河南省实验中学质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csin 2B－bsin (A＋B)＝0.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝4，c＝6，求sin C的值．
解：因为csin 2B－bsin (A＋B)＝0，由正弦定理可得，sin Csin 2B－sin Bsin (A＋B)＝0，
化简可得2sin Csin Bcos B－sin Bsin C＝0，因为sin Bsin C≠0，所以cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)由余弦定理可得：cos B＝＝，＝，所以b＝2，
由正弦定理可得：sin C＝＝.
2．(2020·淮北模拟)已知△ABC的面积为S，且·＝S.
(1)求sin2 －cos2 －sin 2A的值；
(2)若角A，B，C成等差数列，|－|＝4，求△ABC的面积S.
解：(1)设△ABC中A、B、C的对边分别为a、b、c，
因为·＝S及S＝bcsin A，
所以tan A＝2⇒＝2，
因为sin2 A＋cos2 A＝1，
所以sin A＝，cos A＝.
sin2 －cos2 －sin 2A＝－cos A－2sin Acos A＝－.
(2)因为2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，
所以B＝，从而有sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
因为|－|＝c＝4，所以由正弦定理＝得b＝8－12.
所以S＝bcsin A＝32－48.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos A－acos B＝2c.
(1)证明：tan B＝－3tan A；
(2)若b2＋c2＝a2＋bc，且△ABC的面积为，求a.
(1)证明：根据正弦定理，
由已知得sin Bcos A－cos Bsin A＝2sin C＝2sin(A＋B)，
展开得sin Bcos A－cos Bsin A＝2(sin Bcos A＋cos Bsin A)，
整理得sin Bcos A＝－3cos Bsin A，所以tan B＝－3tan A.
(2)解：由已知得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝ ，
由0<A<π，得A＝，tan A＝，所以tan B＝－，
由0<B<π，得B＝，所以C＝，a＝c，
由S＝acsin ＝×a2＝，得a＝2.
4.(2020·安阳模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠DCB＝45°，∠ABD＝120°，∠ABC＝α，AD＝10.
(1)求△ABD的面积的最大值；
(2)在△ABD的面积取得最大值的条件下，若BC＝5，求tan 的值．
解：(1)在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝BA2＋BD2－2BA·BDcos 120°，
所以300＝BA2＋BD2＋BA·BD≥3BA·BD，
所以BA·BD≤100，当且仅当BA＝BD＝10时，等号成立．
所以S△ABD＝BA·BDsin 120°≤25，
故△ABD的面积的最大值为25.
