考点1 定点问题——基础性
(2021·运城模拟)已知P(1,2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
(1)解：将点P(1,2)代入抛物线方程得4＝2p，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
(2)证明：设AB：x＝my＋t，将直线AB的方程与y2＝4x联立得y2－4my－4t＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，
所以Δ＞0⇒16m2＋16t＞0⇒m2＋t＞0，
kPA＝＝＝，同理kPB＝．
由题意＋＝2，
所以4(y1＋y2＋4)＝2(y1y2＋2y1＋2y2＋4)，
所以y1y2＝4，所以－4t＝4，所以t＝－1，
故直线AB恒过定点(－1,0)．
