2013年高三数学一轮复习 专题四知能演练轻松闯关 新人教版
1．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
(1)求证：AB⊥平面PBC；
(2)设AB＝BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角的大小．
解：(1)证明：因为PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以AB⊥PC，
因为点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，
所以CD⊥平面PAB，
又因为AB⊂平面PBA，所以AB⊥CD.
又因为PC∩CD＝C，所以AB⊥平面PBC.
(2)因为PC⊥平面ABC，所以∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角，
于是∠PAC＝45°，设AB＝BC＝1，则PC＝AC＝2.
以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，2)，
AP→＝(1，－1，2)，BC→＝(1,0,0)，
因为cos〈AP→，BC→〉＝AP→•BC→|AP→|•|BC→|＝12，
所以异面直线AP与BC所成的角为60°.
2．一个四棱锥的直观图和三视图如图所示．
