§4.1.2 圆的一般方程
一、教材分析
教材通过将二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化为(x+ )2+(y+ )2= 后只需讨论D2+E2-4F＞0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F＜0.与圆的标准方程比较可知D2+E2-4F＞0时,表示以(- ,- )为圆心, 为半径的圆；当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=- ,y=- ,即只表示一个点(- ,- );当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
从而得出圆的一般方程的特点：(1)x2和y2的系数相同,不等于0；(2)没有x·y这样的二次项；(3)D2+E2-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件,只有三条同时满足才是充要条件.
同圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2含有三个待定系数a、b、r一样,圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数D、E、F,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.同样可以用待定系数法求得圆的一般方程.在实际问题中,究竟使用圆的标准方程还是使用圆的一般方程更好
